QuantMOD
Quantisation of moduli spaces: Hitchin connections and isomonodromic deformations
MSCA Postdoctoral Fellowship 2022
Université de Montpellier
Postdoc : Gabriele Rembado
Supervision : Damien Calaque
Labo : IMAG
Pôle de Recherche Mathématiques, Informatique, Physique, Systèmes
DESCRIPTION :
Notre objectif est de construire des généralisations des connexions de Hitchin, de Wess–Zumino–Witten (WZW) et de Knizhnik–Zamolodchikov (KZ), tant en quantification géométrique qu’en quantification par déformation, ainsi que de leurs représentations de monodromie associées.
La connexion de Hitchin a permis la quantification de la théorie de Chern–Simons compacte et a conduit à la construction d’une théorie quantique des champs topologique. Une autre connexion projectivement plate fournit une définition mathématique cohérente des fonctions de corrélation dans le modèle WZW de la théorie conforme des champs. Les fibrés vectoriels projectivement plats obtenus sont isomorphes, et leurs monodromies ont des applications majeures en topologie et géométrie de basse dimension (invariants quantiques des nœuds et des variétés de dimension 3) ainsi qu’en théorie des représentations (groupes de difféomorphismes, groupes quantiques, groupes de tresses).
Notre point de vue directeur est que les connexions de Hitchin/WZW peuvent être dérivées de la quantification des espaces de modules de connexions sur les surfaces de Riemann. Nous étendrons cette approche en nous concentrant sur les connexions méromorphes à pôles d’ordre élevé (c’est‑à‑dire les singularités sauvages), généralisant ainsi les fibrés ci‑dessus et leurs applications.
La motivation de ce projet est double.
Premièrement, on dispose désormais d’une compréhension complète de la nature poissonienne/symplectique des déformations isomonodromiques de singularités sauvages, qui se prêtent naturellement à la quantification. La théorie quantique est beaucoup moins développée que la théorie classique, ce qui nous incite à combler cet écart en nous appuyant sur cette dernière.
Deuxièmement, des travaux récents ont relié la connexion WZW en genre zéro — c’est‑à‑dire la connexion KZ — à une nouvelle version de la connexion de Hitchin, utilisée ensuite pour la quantification des espaces de modules de fibrés paraboliques. Nous souhaitons poursuivre ces extensions ; en particulier, nous utiliserons les nouvelles connexions plates construites du côté de la quantification par déformation comme candidates pour des connexions de Hitchin “sauvages”, dans la quantification géométrique des variétés de caractères sauvages : une nouveauté complète.
Informations sur le projet :
- Date de début : 2 octobre 2023
- Date de fin : 1er octobre 2026
- Coût total : 276 681,60€
- Coordonné par l’Université de Montpellier
- Référence projet : 101108575
Mots-clés : Geometric quantisation; Deformation quantisation; Flat connections; Mapping class groups; Isomonodromic deformations
