ABCD
Around Braids, Categories and Distances
MSCA Postdoctoral Fellowships 2021
Superviseur : QUEFFELEC Hoel
CNRS
IMAG
Pôle de Recherche Mathématiques, Informatique, Physique, Systèmes
DESCRIPTION :
Cette proposition vise à aborder des problèmes classiques concernant le groupe de tresses en s’appuyant sur des avancées récentes en théorie des représentations supérieures. Plus précisément, je souhaite utiliser la représentation de Burau catégorifiée de Khovanov‑Seidel ainsi que les travaux de Bappat‑Deopurkar‑Licata sur les conditions de stabilité pour travailler sur le problème de la fidélité de la représentation de Burau et sur la question de Haagerup pour le groupe de tresses.
La fidélité de la représentation de Burau pour le groupe de tresses à quatre brins est l’un des problèmes les plus anciens et les plus fascinants de la théorie des groupes de tresses. J’espère vivement que les outils récents issus de la théorie des représentations supérieures permettront d’y apporter un nouvel éclairage. Ma stratégie consiste à développer, avec Licata, un argument de type ping‑pong, qui reposera sur une description diagrammatique des morphismes dans la catégorie des bimodules sur l’algèbre en zigzag. Un contrôle fin du processus de décatégorification sera ensuite nécessaire, et je l’étudierai avec Bonnaf.
Les groupes de tresses jouent également un rôle majeur en théorie géométrique des groupes, un domaine de recherche né sous l’impulsion de Gromov. Parmi les questions ouvertes, déterminer si les groupes de tresses possèdent la propriété de Haagerup est central, car cette propriété est liée à plusieurs conjectures non résolues. Je prévois d’utiliser les travaux de Bappat‑Deopurkar‑Licata sur les conditions de stabilité de Bridgeland dans la catégorie des représentations de l’algèbre en zigzag pour construire un espace à murs sur lequel les groupes de tresses de type A agiraient. Cela permettrait d’obtenir une preuve de la propriété de Haagerup pour les groupes de tresses de type A.
Informations sur le projet :
- Date de début : 1er septembre 2022
- Date de fin : 31 août 2024
- Coût total : 136 073,04€
- Coordonné par le CNRS
- Référence projet : 101064705
Mots-clés : mate choice; disassortative mating; sexual selection; warning signal polymorphism; balancing selection
